量子力学
这是一个行内公式：$ E = mc^2 $，以及一个块级公式：
$$ E = mc^2 $$这是一个行内公式：\( E = mc^2 \)，以及一个块级公式：
\[ E = mc^2 \]二次量子化
- 二次量子化 (单体算符，玻色费米看看，定出来系数) ★★★★★
- Fock 空间，粒子数态。
- 产生湮灭算符。
- 单体算符，单体算符在Fock空间中的矩阵元 $$ \begin{aligned}&\left\langle n_{a},n_{b},n_{c},\cdots|\hat{F}_{1}|n_{a},n_{b},n_{c},\cdots\right\rangle=f_{aa}n_{a}+f_{bb}n_{b}+f_{cc}n_{c}+\cdots\\&\left\langle n_{a},n_{b}-1,n_{c},\cdots|\hat{F}_{1}|n_{a}-1,n_{b},n_{c},\cdots\right\rangle=f_{ab}\sqrt{n_{a}n_{b}}\\&\text{其中}\hspace{3em}f_{ij}=\int_{r}\phi_{i}^{*}(r)\hat{f}(r_{i})\phi_{j}(r)\equiv\left\langle i|\hat{f}|j\right\rangle\end{aligned} $$这个理解上很容易，[[二次量子化矩阵元计算过程|计算过程]]略，如果出题了自己处理。 就是算符之后作用在左右同一fock空间的braket(对角项)，如果不是则必须依赖于升降算符(非对角项，肯定有跃迁项)。后面也有二次量子化后的计算过程
- 两体算符，推广单体算符到两体算符， $$ \hat{G}_{2}=\frac{1}{2}\sum_{ijkl}g_{ijkl}a_{i}^{\dagger}a_{j}^{\dagger}a_{k}a_{l} $$
矩阵元结果为 (与单体算符如出一辙)$$ \begin{gathered} \hat{G}_{2}=\frac{1}{2}\sum_{ijkl}g_{ijkl}a_{i}^{\dagger}a_{j}^{\dagger}a_{k}a_{l}\\g_{ijkl}=\int_{r_{1}}\int_{r_{2}}\phi_{i}^{*}(r_{1})\phi_{j}^{*}(r_{2})\hat{g}(r_{1},r_{2})\phi_{k}(r_{2})\phi_{l}(r_{1}) \end{gathered} $$ - 二次量子化：定义一个场算符 $\hat{\psi}(r)=\sum_ia_i\phi_i(r)$, 有对易关系： $$ [\hat{\psi}(r),\hat{\psi}^\dagger(r^{\prime})]=\delta(r-r^{\prime}) $$
于是单体算符“期望值”就是 $$ \int_{r}\hat{\psi}(r)\hat{f}(r)\hat{\psi}(r)=\sum_{ij}\int_{r}\phi_{i}^{*}(r)\hat{f}\phi_{j}(r)a_{i}^{\dagger}a_{j}=\sum_{ij}f_{ij}a_{i}^{\dagger}a_{j} $$
多体算符“期望值”： $$ \begin{aligned}&\frac{1}{2}\int_{r_{1}}\int_{r_{2}}\hat{\psi}^{\dagger}(r_{1})\hat{\psi}^{\dagger}(r_{2})\hat{g}(r_{1},r_{2})\hat{\psi}(r_{2})\hat{\psi}(r_{1})\\&\frac{1}{2}\sum_{ijkl}\int_{r_{1}}\int_{r_{2}}\phi_{i}^{*}(r_{1})\phi_{j}^{*}(r_{2})\hat{g}(r_{1},r_{2})\phi_{k}(r_{2})\phi_{l}(r_{1})a_{i}^{\dagger}a_{j}^{\dagger}a_{k}a_{l}\\\mathrm{=}&\frac{1}{2}\sum_{ijkl}g_{ijkl}a_{i}^{\dagger}a_{j}^{\dagger}a_{k}a_{l}\end{aligned} $$
这里就是将单体波函数作为场算符，然后基矢量展开($\phi _{i}(r)=\braket{ r | i }$ 本质上就是将数态基投影到，然后原来本来应该是系数的$a_{i}$成为了湮灭算符，也就是所谓的把波函数变为场算符)。
一次量子化关注单体运动，重点计算波函数，计算一个粒子出现在哪里的概率二次量子化等。二次量子化不是说把一个系统量子化两次，而是人类物理学史上第二次量子化我们的方程和理论（多体系统，我们重点计算体系的状态，采用粒子在不同态的占据数来表示系统）。这个二次指的是科学史上的第二次。我觉得一次/二次的表述其实很让人困扰。